📜 [原文1]
共轭运算是 $G$ 作用于自身的一种运算，定义为
这段话定义了群论中一个非常核心的运算，叫做共轭 (conjugation)。
这个运算非常重要，因为它揭示了群内部的结构。如果一个元素 $x'$ 可以被写成 $g x g^{-1}$ 的形式，我们就说 $x'$ 和 $x$ 是共轭的。这在几何上可以理解为“从不同的视角看待同一个对象”。$g$ 就代表了“视角的变换”。
公式: $(g, x) \leadsto g x g^{-1}$
推导/验证：
为了确认 $g x g^{-1}$ 确实是 $G$ 的一个元素，我们需要利用群的封闭性公理。
因此，共轭运算的结果始终在群 $G$ 内部，运算是封闭的。
示例1：对称群 $S_3$
$S_3$ 是包含 $\{1, 2, 3\}$ 三个元素的所有置换的群，其阶为 $3! = 6$。它的元素可以写成轮换的形式：
$e = (1)$ (单位元)
$\rho_1 = (1 2 3)$ (旋转120度)
$\rho_2 = (1 3 2)$ (旋转240度)
$\mu_1 = (2 3)$ (关于1的反射)
$\mu_2 = (1 3)$ (关于2的反射)
$\mu_3 = (1 2)$ (关于3的反射)
让我们来计算一个共轭。
令 $g = \rho_1 = (1 2 3)$，$x = \mu_1 = (2 3)$。
首先，我们需要计算 $g$ 的逆元 $g^{-1}$。$g$ 是一个长度为3的轮换，所以 $g^{-1} = g^2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)$。所以 $g^{-1} = \rho_2 = (1 3 2)$。
现在计算 $g x g^{-1} = (1 2 3)(2 3)(1 3 2)$。
我们从右到左计算置换的复合：
所以，整个过程是 $1 \to 3 \to 2 \to 3$。最终结果 $1 \to 3$。
所以，整个过程是 $2 \to 1 \to 1 \to 2$。最终结果 $2 \to 2$。
所以，整个过程是 $3 \to 2 \to 3 \to 1$。最终结果 $3 \to 1$。
综上所述，$g x g^{-1}$ 的效果是 $1 \to 3$, $2 \to 2$, $3 \to 1$。这正是置换 $(1 3)$，也就是 $\mu_2$。
所以，在 $S_3$ 中，$(1 2 3)(2 3)(1 3 2) = (1 3)$。我们说 $\mu_1=(2 3)$ 和 $\mu_2=(1 3)$ 是共轭的。
示例2：一般线性群 $GL_2(\mathbb{R})$
$GL_2(\mathbb{R})$ 是所有 $2 \times 2$ 的实数可逆矩阵构成的群，运算是矩阵乘法。
令 $g = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$x = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ (一个对角阵)。
首先计算 $g$ 的逆元 $g^{-1}$。对于 $2 \times 2$ 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆元是 $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
所以 $g^{-1} = \frac{1}{1\cdot1 - 1\cdot0} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
现在计算共轭 $g x g^{-1}$：
$g x g^{-1} = \left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1\cdot2+1\cdot0 & 1\cdot0+1\cdot3 \\ 0\cdot2+1\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2\cdot1+3\cdot0 & 2\cdot(-1)+3\cdot1 \\ 0\cdot1+3\cdot0 & 0\cdot(-1)+3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
所以，矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 是共轭的。这在线性代数中对应于同一个线性变换在不同基下的矩阵表示。$g$ 就是基变换矩阵。
共轭运算是群 $G$ 对自身的一种作用，定义为将元素 $x$ 变换为 $g x g^{-1}$。这个操作揭示了群内部元素之间的对称关系，是理解群结构的关键工具。共轭的元素在代数性质上非常相似（例如，它们的阶相同）。
引入共轭运算的目的是为了对群的元素进行分类。我们可以将相互共轭的元素看作是“同一类”元素。这种分类方式不是任意的，它深刻地反映了群的内在结构。通过研究这些共轭类的大小和数量，我们可以推导出关于群的阶的重要信息，这就是本节主题“类方程”的核心思想。
想象一个三维物体，比如一个正方体。你在不同的位置（比如正面、侧面、顶面）观察它。虽然你每次看到的二维图像不同，但你知道你观察的始终是同一个正方体。
在这个模型中：
共轭就是“换个视角看问题”。$gxg^{-1}$ 就是从 $g$ 的“视角”看到的 $x$。所有共轭的元素本质上是“同一个东西”，只是在群的不同“坐标系”下的表现形式不同。
想象一串珠子串在一个圆环上。一个元素 $x$ 是其中的一颗特定颜色的珠子。一个元素 $g$ 的作用是把整个圆环旋转一个角度。旋转后，原来那颗珠子的位置被另一颗珠子占据了，但从整个圆环的结构来看，这颗新珠子和原来的珠子扮演着同样的角色。共孕运算 $gxg^{-1}$ 捕捉的就是这种结构上的等价性。
📜 [原文2]
它比左乘运算更微妙也更重要。显然，我们不应该对这种运算使用乘法记号。
比较 $S_3$ 中的左乘和共轭。
令 $g = (1 2)$，$x = (1 2 3)$。
$g x g^{-1} = (1 2)(1 2 3)(1 2) = (2 3)(1 2) = (1 3 2)$。结果是 $(1 3 2)$。
可以看到，左乘和共轭得到了完全不同的结果。左乘将 $(1 2 3)$ 变成了 $(2 3)$，而共轭将 $(1 2 3)$ 变成了 $(1 3 2)$。有趣的是，$(1 2 3)$ 和 $(1 3 2)$ 都是长度为3的轮换，它们的阶都是3，而 $(2 3)$ 是长度为2的轮换，阶为2。共轭保持了元素的阶（以及轮换结构），而左乘不一定。这正是共轭运算“更微妙”的一个体现。
共轭运算 $(g, x) \leadsto g x g^{-1}$ 相比于左乘运算 $(g, x) \leadsto gx$，能更深刻地揭示一个特定群的非交换结构，因此在研究群的内部构造时更为重要。为了清晰起见，我们不为它引入新的简化记号，而是直接写出其定义式。
本段的目的是强调共轭运算在群论学习中的地位，并将其与之前学过的左乘运算进行对比，让读者明白为什么要引入这个新的、看起来更复杂的作用。同时，它也对记号的使用做出了规范，以确保后续讨论的清晰性。
想象你在一个舞会上。
📜 [原文3]
我们将验证此运算的结合律 (6.7.1)，使用 $g * x$ 作为 $g x g^{-1}$ 的临时记号：
验证完公理后，我们回到常用的记号 $g x g^{-1}$。
这段文字是在验证我们刚刚定义的共轭运算确实满足“群作用”的一条核心公理。一个群 $G$ 对一个集合 $S$ 的作用 (记为 $*$) 需要满足两条公理：
这里，作者正在验证第二条公理，即结合律。
这样，从 $(gh) * x$ 出发，经过一系列等价变换，我们得到了 $g * (h * x)$，证明了结合律公理成立。
作者还提到，验证完后就丢弃临时记号 $*$，回到更明确的 $g x g^{-1}$ 写法。
公式: $(g h) * x=(g h) x(g h)^{-1}=g h x h^{-1} g^{-1}=g(h * x) g^{-1}=g *(h * x)$
我们再验证一下单位元公理:
令 $g=e$ (单位元)。
$e * x = e x e^{-1}$。因为 $e$ 是单位元，$ex=x$。因为 $e^{-1}=e$，$xe^{-1}=xe=x$。
所以 $e * x = x$。单位元公理也成立。
因此，共轭确实是一个合法的群作用。
使用 $S_3$ 的例子来验证。
令 $g = (1 2)$，$h = (1 3)$，$x = (1 2 3)$。
所以左边结果是 $(1 2 3)$。
$h = (1 3)$，$h^{-1} = (1 3)$。
$hxh^{-1} = (1 3)(1 2 3)(1 3) = (1 2)(1 3) = (1 3 2)$。
所以 $h*x = (1 3 2)$。
$g * (h*x) = g (h*x) g^{-1}$。
$g = (1 2)$，$g^{-1} = (1 2)$。
$g (h*x) g^{-1} = (1 2)(1 3 2)(1 2) = (1 3)(1 2) = (1 2 3)$。
所以右边结果也是 $(1 2 3)$。
左边 = 右边，验证了该示例中结合律成立。
本段通过一个代数推导，严格证明了共轭运算满足群作用的结合律公理 $(gh)*x = g*(h*x)$。这个证明是建立在群的逆元法则 $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ 和乘法结合律的基础之上的。这确保了我们可以应用所有关于群作用的理论（如轨道-稳定子定理）到共轭运算上。
在数学中，当我们定义一个新的运算或结构时，必须确保它满足相应的公理，这样才能应用与之相关的强大理论。本段的目的就是完成这个“合法性检查”，证明共轭可以被正式地、严谨地视为一种群作用，为后续引入共轭类（轨道）和中心化子（稳定子）并使用轨道-稳定子定理铺平了道路。
想象“换视角”的模型。
这个公理的直观意义是：【先用 $h$ 变换视角，再用 $g$ 变换视角】来看物体，和我【直接用 $g$ 和 $h$ 复合后的新视角】来看物体，效果是一样的。这非常符合我们对“视角变换”的直觉。
想象你在用一个相机拍照。
很显然，这两种操作最终得到的照片是一样的。这就是群作用结合律的直观体现。
📜 [原文4]
$x$ 的中心化子是与 $x$ 可交换的元素集合。
这里将群作用的一般概念应用到共轭运算上。在一般的群作用中：
现在，我们将这个概念具体化到共轭作用：
$g x g^{-1} g = x g$
$g x e = x g$
$g x = x g$
所以，“让 $x$ 在共轭作用下保持不变的 $g$” 和 “能与 $x$ 交换位置的 $g$” 是完全等价的。
根据群作用的理论，任意一个元素的稳定子都是原群的一个子群。所以，$Z(x)$ 是 $G$ 的一个子群。
公式: $Z(x)=\left\{g \in G \mid g x g^{-1}=x\right\}=\{g \in G \mid g x=x g\}$
从 $g x g^{-1} = x$ 推导出 $gx = xg$：
$g x g^{-1} = x \quad$ (两边同时右乘 $g$)
$(g x g^{-1}) g = x g$
$g x (g^{-1} g) = x g \quad$ (结合律)
$g x e = x g \quad$ ($e$ 是单位元)
$g x = x g$
从 $gx = xg$ 推导出 $g x g^{-1} = x$：
$g x = x g \quad$ (两边同时右乘 $g^{-1}$)
$(g x) g^{-1} = (x g) g^{-1}$
$g x g^{-1} = x (g g^{-1}) \quad$ (结合律)
$g x g^{-1} = x e$
$g x g^{-1} = x$
两个条件是完全等价的。
示例1：对称群 $S_3$
我们来计算 $x = (1 2 3)$ 的中心化子 $Z((1 2 3))$。我们需要找到所有与 $(1 2 3)$ 可交换的元素。
$S_3 = \{e, (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)\}$。
综上，$Z((1 2 3)) = \{e, (1 2 3), (1 3 2)\}$。这个集合就是由 $(1 2 3)$ 生成的循环子群 $\langle (1 2 3) \rangle$。它的阶是3。
示例2：一般线性群 $GL_2(\mathbb{R})$
我们来计算 $x = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 的中心化子 $Z(x)$。
我们需要找到所有矩阵 $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 满足 $gx=xg$。
$gx = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 3b \\ 2c & 3d \end{pmatrix}$。
$xg = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 3c & 3d \end{pmatrix}$。
要使 $gx=xg$，必须有：
$2a = 2a$ (无信息)
$3b = 2b \implies b=0$
$2c = 3c \implies c=0$
$3d = 3d$ (无信息)
所以，任何与 $x$ 可交换的矩阵 $g$ 必须是 $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ 的形式，即对角矩阵。此外，$g$ 还必须是可逆的，即 $ad-bc \neq 0$，在这里就是 $ad \neq 0$。
因此，$Z(x)$ 是 $GL_2(\mathbb{R})$ 中所有可逆对角矩阵的集合。
在共轭作用的框架下，一个元素 $x$ 的稳定子被特别命名为中心化子 $Z(x)$。它等价于群中所有与 $x$ 可交换的元素组成的集合。$Z(x)$ 本身是 $G$ 的一个子群。
引入中心化子是为了应用群作用理论中的稳定子概念。稳定子的阶是计算轨道大小的关键。通过定义中心化子，我们就有了一个具体的工具来计算共轭类（即轨道）的大小，这对于建立类方程至关重要。
在“换视角”模型中，$x$ 是一个物体。$Z(x)$ 是所有那些“虽然换了视角，但看起来还和原来一模一样”的视角变换 $g$ 的集合。
这说明物体 $x$ 本身具有某种对称性。
例如，如果 $x$ 是一个完美的球体，那么任何旋转 $g$（视角变换）都不会改变它的外观。所以球体的中心化子是整个旋转群 $SO(3)$。
如果 $x$ 是一根无限长的棍子（以原点为中心），那么绕着这根棍子轴线的任何旋转，以及将棍子头尾颠倒的旋转，都不会改变棍子的形态。这些旋转就构成了这根棍子的中心化子。
想象你正对着一个人 $x$。
$Z(x)$ 就是所有这样的你自己的动作 $g$（比如你自己转身、跳跃），在做出这些动作后，你看那个人 $x$ 还是和原来一模一样。
如果那个人 $x$ 是一个四面对称的人（比如一个卡通方块人），那么你绕着他走90度、180度、270度，他看起来都一样。这些“你自己的动作”就组成了他的中心化子。
📜 [原文5]
这里继续将群作用的一般概念应用到共轭运算上。
现在，我们将这个概念具体化到共轭作用：
根据群作用的理论，一个集合可以被划分为若干个不相交的轨道。因此，群 $G$ 可以被划分为若干个不相交的共轭类。
公式: $C(x)=\left\{x^{\prime} \in G \mid x^{\prime}=g x g^{-1} \text { for some } g \text { in } G\right\}$
共轭是一种等价关系：
因为共轭是一种等价关系，所以它可以将群 $G$ 划分成互不相交的等价类，这些等价类就是共轭类。
示例1：对称群 $S_3$
我们来计算 $x = (1 2 3)$ 的共轭类 $C((1 2 3))$。我们需要计算所有的 $g(1 2 3)g^{-1}$，其中 $g \in S_3$。
$S_3 = \{e, (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)\}$。
所以，$C((1 2 3))$ 这个集合里只有两个元素：$\{(1 2 3), (1 3 2)\}$。
现在计算 $y = (1 2)$ 的共轭类 $C((1 2))$。
所以，$C((1 2)) = \{(1 2), (1 3), (2 3)\}$。
$S_3$ 的共轭类划分是：
$C(e) = \{e\}$
$C((1 2 3)) = \{(1 2 3), (1 3 2)\}$
$C((1 2)) = \{(1 2), (1 3), (2 3)\}$
这三个集合互不相交，且它们的并集就是 $S_3$。
一个重要的事实: 在对称群 $S_n$ 中，两个置换共轭当且仅当它们具有相同的轮换结构（即分解成不相交轮换后，每个长度的轮换个数都相同）。
在 $S_3$ 中，$(1 2 3)$ 和 $(1 3 2)$ 都是长度为3的轮换，所以它们共轭。$(1 2), (1 3), (2 3)$ 都是长度为2的轮换（对换），所以它们共轭。
在共轭作用的框架下，一个元素 $x$ 的轨道被特别命名为共轭类 $C(x)$。它是由所有与 $x$ 共轭的元素 $gxg^{-1}$ 组成的集合。由于共轭是一种等价关系，群 $G$ 可以被完美地划分为互不相交的共轭类。
引入共轭类是为了应用群作用理论中的轨道概念。轨道是对集合的划分。通过将群 $G$ 自身划分为共轭类，我们可以把对整个群的研究，分解为对各个共轭类的研究。特别是，群的阶等于所有共轭类的阶之和，这就是类方程的雏形。
在“换视角”模型中，$C(x)$ 就是你从所有可能的视角 $g$ 去观察物体 $x$ 时，所能看到的所有不同样貌的集合。
回到舞会的例子。$x$ 是一个人。$C(x)$ 是所有那些和他“类型”相同的人的集合。什么是“类型”相同？就是存在另一个人 $g$ 能通过“让他模仿 $g$ 的舞步，再跳自己的舞，再反向模仿”这一套操作，把他变成另一个人 $y$。
比如，所有“领舞者”可能属于一个共轭类，所有“伴舞者”属于另一个共轭类。你可以通过某种操作（$g$）让一个领舞者暂时扮演另一个领舞者的角色。
📜 [原文6]
计数公式 (6.9.2) 告诉我们
这段话应用了群作用中最重要的定理之一——轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)。
轨道-稳定子定理内容：对于群 $G$ 对集合 $S$ 的任意一个作用，以及任意一个元素 $s \in S$，我们有：
$|G| = |Stab(s)| \cdot |Orb(s)|$
其中 $|G|$ 是群的阶， $|Stab(s)|$ 是 $s$ 的稳定子的阶， $|Orb(s)|$ 是 $s$ 的轨道的阶（即轨道中元素的个数）。
这个定理的直观意义是，群的阶等于【让对象保持不变的操作数】乘以【对象能变成的不同样貌数】。
现在，我们将这个定理应用到共轭作用上：
直接把这些新名字代入轨道-稳定子定理的公式，就得到了：
$|G| = |Z(x)| \cdot |C(x)|$
这个公式被称为计数公式。它为我们提供了一个强大的计算工具：
这个公式是连接一个元素的“对称性”（由 $Z(x)$ 体现）和它的“可变性”（由 $C(x)$ 体现）的桥梁。一个元素越“特殊”、越“对称”（即能与它交换的元素越多，$|Z(x)|$ 越大），那么它在共轭作用下能变成的形态就越少（$|C(x)|$ 越小）。
公式: $|G|=|Z(x)| \cdot|C(x)|$
推导 (基于轨道-稳定子定理)：
轨道-稳定子定理的证明本身依赖于陪集。简述如下：
考虑一个映射 $\phi: G \to C(x)$，定义为 $\phi(g) = gxg^{-1}$。
这个映射是满射（根据 $C(x)$ 的定义）。
我们想知道，对于 $C(x)$ 中的一个元素 $y$，有多少个 $g$ 使得 $gxg^{-1}=y$。
假设 $g_0 x g_0^{-1} = y$。对于任意其他的解 $g$，我们有 $gxg^{-1} = g_0 x g_0^{-1}$。
这个等式可以变形为 $(g_0^{-1}g) x (g_0^{-1}g)^{-1} = x$。
这说明 $g_0^{-1}g$ 是一个让 $x$ 保持不变的元素，即 $g_0^{-1}g \in Z(x)$。
令 $z = g_0^{-1}g$，则 $g = g_0 z$。
这意味着，所有能将 $x$ 映射到 $y$ 的元素 $g$ 构成的集合，恰好是 $g_0$ 所在的左陪集 $g_0 Z(x) = \{g_0 z \mid z \in Z(x)\}$。
根据拉格朗日定理，所有陪集的大小都相等，都等于 $|Z(x)|$。
群 $G$ 可以被划分为若干个这样的左陪集。有多少个不同的共轭元（即 $|C(x)|$），就有多少个这样的陪集。
因此，总的元素个数 $|G|$ 就等于（每个陪集的大小）乘以（陪集的个数），即 $|G| = |Z(x)| \cdot |C(x)|$。
示例1：对称群 $S_3$
$|S_3|=6$。
对于 $x = (1 2 3)$：
我们在前面计算出它的中心化子是 $Z((1 2 3)) = \{e, (1 2 3), (1 3 2)\}$，所以 $|Z((1 2 3))| = 3$。
根据计数公式，$|C((1 2 3))| = |S_3| / |Z((1 2 3))| = 6 / 3 = 2$。
这与我们直接计算出的共轭类 $C((1 2 3)) = \{(1 2 3), (1 3 2)\}$ 的大小完全吻合。
对于 $y = (1 2)$：
我们来计算它的中心化子 $Z((1 2))$。需要找到所有与 $(1 2)$ 可交换的元素。
所以 $Z((1 2)) = \{e, (1 2)\}$。$|Z((1 2))| = 2$。
根据计数公式，$|C((1 2))| = |S_3| / |Z((1 2))| = 6 / 2 = 3$。
这与我们直接计算出的共轭类 $C((1 2)) = \{(1 2), (1 3), (2 3)\}$ 的大小完全吻合。
计数公式 $|G|=|Z(x)| \cdot|C(x)|$ 是轨道-稳定子定理在共轭作用下的直接应用。它建立了群的阶、元素的中心化子的阶以及其共轭类的阶之间的定量关系。这个公式是计算共轭类大小的最常用、最强大的工具。
本段的目的是将抽象的轨道-稳定子定理转化为一个在共轭问题中可以直接使用的、具体的计算公式。这个公式是后续所有关于类方程的计算和推论的基础。它将寻找共轭类这个看似复杂的问题（需要遍历所有 $g$），简化为了计算中心化子这个相对更容易的代数问题（解方程 $gx=xg$）。
想象一个大公司 G，有 $|G|$ 个员工。
$x$ 是一个特定的项目。
$Z(x)$ 是“核心项目组”，这个组里的人 $g$ 对项目 $x$ 的操作 $gxg^{-1}$ 不会改变项目 $x$ 的本质。他们是项目的“维护者”。$|Z(x)|$ 是核心组的人数。
$C(x)$ 是这个项目 $x$ 在公司里所有可能的“变体”或“表现形式”。比如项目 $x$ 在不同部门看来有不同的价值，这些不同的价值认知就是 $C(x)$。$|C(x)|$ 是变体的数量。
公司总人数 $|G|$ 可以被看作是核心组人数和变体数量的乘积。
如果一个项目核心团队很大（$|Z(x)|$ 很大），意味着这个项目非常稳定，不容易被外界改变，那么它的变体形式就很少（$|C(x)|$ 很小）。
反之，如果核心团队很小（$|Z(x)|$ 很小），意味着项目很不稳定，谁都可以来“掺一脚”并改变它，那么它的变体形式就很多（$|C(x)|$ 很大）。
想象你在一个万花筒前。
计数公式告诉你：总转动角度数 = (看起来不变的转动角度数) × (能形成的不同图案数)。
📜 [原文7]
群 $G$ 的中心 $Z$ 在第 2 章中定义。它是与群中每个元素都可交换的元素集合：$Z=\{z \in G \mid z y=y z$ 对于所有 $y \in G\}$。
这段话回顾了群的中心 (Center of a group) 的定义。
群的中心 $Z(G)$ 本身也是 $G$ 的一个阿贝尔子群。
示例1：对称群 $S_3$
我们需要找到一个元素，它和 $\{e, (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)\}$ 中的每一个都可交换。
我们已经知道 $(1 2 3)$ 和 $(1 2)$ 不可交换，所以 $(1 2 3)$ 不在中心里。
我们也知道 $(1 2)$ 和 $(1 2 3)$ 不可交换，所以 $(1 2)$ 不在中心里。
实际上，可以验证，除了单位元 $e$ 之外，没有其他元素能和所有元素交换。
例如，$(1 2 3)$ 和 $(1 3 2)$ 可交换，但和 $(1 2)$ 不可交换。
所以，$Z(S_3) = \{e\}$。我们称之为平凡中心 (trivial center)。
示例2：四元数群 $Q_8$
$Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$，其乘法规则为 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。
所以，$Z(Q_8) = \{1, -1\}$。
示例3：阿贝尔群
对于任何阿贝尔群 $A$（例如整数加法群 $\mathbb{Z}$ 或模n加法群 $\mathbb{Z}_n$），根据定义，所有元素都相互可交换。因此，它的中心就是它自身：$Z(A) = A$。
群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是由群中所有能与任何其他元素交换的元素组成的集合。它是所有中心化子的交集，并且是 $G$ 的一个阿贝尔子群。
重新引入中心的概念，是因为中心的元素在共轭运算中表现得非常特殊。它们是共轭类划分中最简单的部分。理解中心的性质，是理解类方程结构的第一步。
在公司模型中，$Z(G)$ 是“公司元老”或“绝对权威”。这个集合里的人 $z$，无论他们和哪个项目 $y$ 合作 ($zy$)，还是让项目 $y$ 来配合他们 ($yz$)，结果都一样。他们的指令具有全局的、不容置疑的一致性。
想象太阳系。
中心 $Z(G)$ 就是太阳。它的引力（作用）对所有行星（其他元素）都是一致的、中心对称的。
而一个行星的中心化子 $Z(y)$ 可能包括它的卫星。卫星和行星之间有可交换的运动关系，但卫星和另一颗行星之间就没有。
📜 [原文8]
(a) 元素 $x$ 的中心化子 $Z(x)$ 包含 $x$，并且它包含中心 $Z$。
(b) 群 $G$ 的一个元素 $x$ 在中心中当且仅当其中心化子 $Z(x)$ 是整个群 $G$，这当且仅当共轭类 $C(x)$ 仅包含元素 $x$。$\square$
这个命题阐述了元素 $x$、它的中心化子 $Z(x)$、群的中心 $Z(G)$ 以及它的共轭类 $C(x)$ 之间的基本关系。
(a) 部分:
这部分说明了中心化子的“下限”：它至少包含元素自身和整个群的中心。即 $\langle x \rangle \cup Z(G) \subseteq Z(x)$。
(b) 部分: 这是一个三段论式的等价命题：A $\iff$ B $\iff$ C。
根据定义，这意味着 $x$ 与群中所有元素 $g$ 都可交换，即 $xg=gx$ 对所有 $g \in G$ 成立。
$Z(x)$ 的定义是所有与 $x$ 可交换的 $g$ 的集合。如果这个集合是整个群 $G$，就意味着 $G$ 中的所有元素都与 $x$ 可交换。这和 A 的描述完全一样。所以 A $\iff$ B。
$C(x)$ 的定义是集合 $\{gxg^{-1} \mid g \in G\}$。
如果 $C(x)=\{x\}$，意味着对于所有的 $g \in G$，都有 $gxg^{-1}=x$。这正是 $x$ 的稳定子（即中心化子 $Z(x)$）是全群 $G$ 的条件。所以 C $\iff$ B。
总结 (b) 部分: 一个元素 $x$ 是中心元素，这回事等价于说“所有人都和它可交换”，也等价于说“从任何视角看它都长一个样”。这三种说法描述的是同一个事实。
这个命题极其重要，因为它告诉我们如何识别共轭类中最简单的那些：共轭类大小为1的元素，不多不少，正好就是群的中心的元素。
示例1：$S_3$
$|S_3|=6$。$Z(S_3)=\{e\}$。
这完美验证了命题(b)。
这也符合命题(b)的逆否命题。
示例2：$Q_8$
$|Q_8|=8$。$Z(Q_8)=\{1, -1\}$。
这验证了命题(b)。
$jij^{-1} = j(-ji) = -j(ji) = -k i = j$
$jij^{-1} = k(-j) = -kj = i$
$kik^{-1} = k(kj) = k^2j=-j$
正确的计算是：$jij^{-1} = j i (-j) = k(-j) = -kj = i$。不，这是错的。$ij=k, ji=-k$。
$jij^{-1} = j i (-j) = - (ji)j = -(-k)j = kj = -i$。
所以 $j$ 不在 $Z(i)$ 中。
$Z(i) = \{\pm 1, \pm i\}$，所以 $|Z(i)|=4$。它不是 $Q_8$。
$|C(i)| = |Q_8|/|Z(i)| = 8/4 = 2$。它的共轭类是 $C(i)=\{i, -i\}$。
这符合命题(b)的逆否命题。
命题7.2.5系统地总结了中心化子、中心和共轭类大小之间的关系。
(a) $Z(x)$ 总包含 $x$ 和 $Z(G)$。
(b) 一个元素是中心元素，等价于它的中心化子是全群，再等价于它的共轭类只有一个元素（就是它自己）。
这个命题是建立类方程的理论基石。它告诉我们，在对群进行共轭类划分时，中心元素会独立出来，各自形成一个大小为1的共轭类。所有非中心元素则会形成大小大于1的共轭类。这启发我们将群的求和分解式分为两部分：来自中心的部分和来自非中心的部分。
在“换视角”模型中：
(a) $Z(x)$ (让物体 $x$ 看起来不变的视角) 包含了“不动”这个视角($e$)和那些“无论看什么物体都和不动一样”的特殊视角($Z(G)$)。
(b) 物体 $x$ 是一个完美的、无特征的球体 ($x \in Z(G)$) $\iff$ 任何视角变换都不能改变它的外观 ($Z(x)=G$) $\iff$ 它所有可能的样貌只有一种 ($|C(x)|=1$)。
想象一个名人 $x$。
(b) $x$ 是世界顶级巨星，妇孺皆知 ($x \in Z(G)$) $\iff$ 全世界所有人都认识他 ($Z(x)=G$) $\iff$ 他只有一个公众形象，无可替代 ($C(x)=\{x\}$)。
一个普通的演员 $y$，不是中心元素。他的中心化子 $Z(y)$ 可能是他的家人和粉丝团，这个群体不是所有人。他的共轭类 $C(y)$ 可能包括“和他撞脸的演员”、“他的替身演员”等，这个集合不止他一个人。
📜 [原文9]
由于共轭类是群运算的轨道，它们划分了群。这一事实为我们提供了有限群的类方程：
这段话正式提出了类方程 (Class Equation)。
$|G| = |C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_k|$
因为这些集合互不相交，并集的阶就等于各自阶的和：
$|G| = |C_1| + |C_2| + \dots + |C_k|$
这个等式就是类方程。它把群的阶表示为它所有共轭类的阶之和。
类方程的威力在于，它将一个单一的数字 $|G|$ 分解成一串具有特定代数意义的整数之和。我们还知道 $|C|$ 必须是 $|G|$ 的约数，这给了我们研究群结构的强大数论工具。
公式: $|G|=\sum_{\substack{\text { 共轭 } \\ \text { 类 } C}}|C|$
推导:
示例：对称群 $S_3$
$|S_3|=6$。
我们前面计算出 $S_3$ 的共轭类是：
这些共轭类的阶分别是1, 2, 3。
将它们相加：$1+2+3=6$。
这与 $|S_3|=6$ 相符。所以 $S_3$ 的类方程是 $6 = 1+2+3$。
类方程是群的阶等于其所有共轭类的阶之和的表达式。它源于共轭类作为轨道对群本身构成一个划分。这是研究有限群结构的一个基本方程。
本段的目的是从共轭类划分群这一基本事实出发，顺理成章地推导出类方程。这个方程本身就是一个强大的分析工具，是本章的核心内容之一。
在公司模型中，公司总人数 $|G|$ 等于各个部门人数的总和。这里的“部门”就是共轭类。每个员工都恰好属于一个部门，不同部门之间没有交集。类方程就是公司的总 headcount 报告：
总人数 = 部门1人数 + 部门2人数 + ... + 部门k人数。
想象你有一袋混合颜色的弹珠。
总数 = 红色弹珠数 + 蓝色弹珠数 + 绿色弹珠数 + ...
📜 [原文10]
如果我们对共轭类进行编号，将其写为 $C_{1}, \ldots, C_{k}$，则类方程变为
单位元素 1 的共轭类仅包含该元素。将该类首先列出似乎很自然，因此 $\left|C_{1}\right|=1$。类方程右侧的其他 1 对应于 $G$ 的中心 $Z$ 的元素。另请注意，右侧的每个项都整除左侧，因为它是一个轨道的阶。
这段话对类方程的形式和性质做了进一步的阐述和细化。
因此，我们可以把类方程写成一个更有结构的形式：
$|G| = |Z(G)| + \sum_{|C_i|>1} |C_i|$
这个形式把群分成了“中心部分”和“非中心部分”。
公式: $|G|=\left|C_{1}\right|+\cdots+\left|C_{k}\right|$
这个公式在上一节已解释。这里我们关注它的一个改进形式。
设 $Z(G) = \{z_1, z_2, \ldots, z_m\}$，其中 $m=|Z(G)|$，$z_1=e$。
每个中心元素 $z_j$ 构成一个大小为1的共轭类 $C(z_j)=\{z_j\}$。
设非中心元素构成的共轭类为 $C_{m+1}, \ldots, C_k$，它们的阶都大于1。
那么类方程可以写成：
$|G| = \underbrace{(|C(z_1)| + \dots + |C(z_m)|)}_{\text{中心元素的贡献}} + \underbrace{(|C_{m+1}| + \dots + |C_k|)}_{\text{非中心元素的贡献}}$
$|G| = \underbrace{(1 + 1 + \dots + 1)}_{m \text{个}} + \sum_{i=m+1}^k |C_i|$
$|G| = |Z(G)| + \sum_{i=m+1}^k |C_i|$
其中，对于 $i > m$ 的每一项 $|C_i|$，我们都有 $|C_i| > 1$ 并且 $|C_i|$ 整除 $|G|$。
示例1：$S_3$
$6=1+2+3$。
示例2：$Q_8$
$|Q_8|=8$。$Z(Q_8)=\{1, -1\}$，所以 $|Z(Q_8)|=2$。
共轭类划分如下：
$C(1)=\{1\}$
$C(-1)=\{-1\}$
$C(i)=\{i, -i\}$ (因为 $kik^{-1}=-i$)
$C(j)=\{j, -j\}$ (因为 $iki^{-1}=-j$)
$C(k)=\{k, -k\}$ (因为 $iji^{-1}=-k$)
所以共轭类的阶是 1, 1, 2, 2, 2。
类方程为: $8 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2$。
这个类方程可以写作 $8 = |Z(Q_8)| + |C(i)| + |C(j)| + |C(k)| = 2 + 2 + 2 + 2$ (这里把大小相同的类合并了)。
本段将类方程与群的中心联系起来，揭示了其内部结构：群的阶等于其中心的阶，加上所有非中心共轭类的阶之和。同时强调了类方程中每一项（即每个共轭类的阶）都必须是群的阶的约数。
本段的目的是为了展示如何利用类方程来分析群的结构。通过将类方程分解为中心和非中心两部分，我们可以从数论的角度（整数的分解和整除性）来推断群的代数性质（例如，中心的大小）。这是类方程威力的第一次体现。
公司的 headcount 报告可以写得更详细：
总人数 = (CEO + 几个副总裁) + (销售部人数 + 市场部人数 + 研发部人数 + ...)
这里的 (CEO + 副总裁) 就是中心 $Z(G)$，他们是独立的，每个人自成一“类”。其他大的部门就是非中心的共轭类。
同时，我们知道每个部门的人数都必须能被公司总人数整除（这在现实中不成立，但在群论中是严格成立的！），这是一个极强的约束。
一盘菜 $|G|$ 的总重量，等于“调味料”的重量 $|Z(G)|$ 加上各种“主食材”（鸡肉、土豆、胡萝卜...）的重量。
📜 [原文11]
这对可能出现在此类方程中的整数组合是一个强烈的限制。
这句话是对上一段内容的总结和强调。它指出了类方程的两个关键性质所带来的强大约束力：
一个整数 $|G|$ 能被分解成其约数的和，这种分解方式通常非常少。因此，通过寻找一个数的所有“约数和分解”，我们就可以反过来推断一个具有给定阶的群可能有哪些共轭类结构，甚至可以确定群的某些性质。
假设有一个阶为10的群 $G$。
$|G|=10$。
10的约数有：1, 2, 5, 10。
类方程必须是 $10 = \sum |C_i|$，其中每个 $|C_i|$ 只能是 1, 2, 5, 10 之一。
和式中必须至少有一个1 (来自单位元)。
我们来尝试分解10：
这意味着所有共轭类大小都是1。这当且仅当该群是阿贝尔群。所以一个阶为10的阿贝尔群（比如循环群 $\mathbb{Z}_{10}$）的类方程就是这个。
通过这个简单的分析，我们就知道一个阶为10的非阿贝尔群的类方程，其共轭类大小的组合只可能是 $\{1, 2, 2, 5\}$ 或者 $\{1, 1, 1, 1, 1, 5\}$ 等少数几种。这就极大地限制了群的内部结构。
(事实上，可以证明阶为10的非阿贝尔群只有一种，即二面体群 $D_5$，其类方程是 $10=1+2+2+5$。)
类方程的“和”与“整除性”两大约束，共同构成了一个筛选有限群结构的强大数论工具。对于一个给定的阶 $|G|$，可能的类方程形式是有限且稀少的。
这句话起到了承上启下的作用。它总结了类方程理论的威力，并预示着接下来将通过具体的例子来展示这种“强烈的限制”是如何在实践中应用的。
[直觉心-智模型]
你想用乐高积木搭建一个高度为10的塔。但你手头只有高度为1, 2, 5, 10的积木。
你有多少种方法可以搭这个塔？
可能性非常有限。群的结构就像这些乐高塔一样，其构成方式受到了严格的限制。
你在分披萨。一块大披萨（$|G|$）要被切成几块（$|C_i|$）。规则是：
如果你有一块10盎司的披萨，你不能切出一块3盎司的小块。你只能切出1, 2, 5, 10盎司的小块。你能怎么切？这极大地限制了你的切法。
📜 [原文12]
对称群 $S_{3}$ 的阶为 6。按照我们常用的记号，元素 $x$ 的阶为 3。它的中心化子 $Z(x)$ 包含 $x$，因此它的阶为 3 或 6。由于 $y x=x^{2} y$， $x$ 不在群的中心中，因此 $|Z(x)|=3$。由此可知 $Z(x)=\langle x\rangle$，并且计数公式 (7.2.4) 表明共轭类 $C(x)$ 的阶为 2。类似的推理表明元素 $y$ 的共轭类 $C(y)$ 的阶为 3。对称群 $S_{3}$ 的类方程是
这段话通过一个具体的例子 $S_3$ (这里作者似乎用 $x, y$ 泛指了特定类型的元素)，演示了如何通过计算中心化子来推导类方程。
这里的 $x, y$ 应该是指 $S_3$ 的典型元素，例如 $x=(1 2 3)$ 和 $y=(1 2)$。
公式: $6=1+2+3$
这是一个具体的类方程。
本段详细演示了如何对一个具体的群（$S_3$）推导其类方程。其核心方法是：选取代表性的元素，通过分析其中心化子的可能阶来确定其阶，然后利用计数公式求出其共轭类的阶，最后将所有共轭类的阶相加，验证其和为群的阶。
这是一个教学示例，旨在将前面介绍的抽象理论（中心化子、共轭类、计数公式、类方程）应用于一个学生熟悉的、具体的非阿贝尔群上，从而固化理解，并展示这套工具的实用性。
我们正在对 $S_3$ 公司进行组织结构分析。
想象一个正三角形。$S_3$ 是它的对称操作群。
类方程 $6=1+2+3$ 在几何上对应着将6个对称操作分成“不动”、“旋转”、“翻转”三类。
📜 [原文13]
正如我们所看到的，计数公式有助于确定类方程。可以直接确定共轭类的阶，也可以计算其中心化子的阶。中心化子作为子群，具有更多的结构，计算其阶通常是更好的方法。在下一节中，我们将看到一个更容易确定共轭类的情况，但让我们看看另一个应该使用中心化子的情况。
这段话是在总结计算类方程的策略，并为下一个例子做铺垫。
比较两种方法计算 $S_3$ 中 $C((1 2 3))$ 的大小。
$e(123)e^{-1}=(123)$
$(123)(123)(123)^{-1}=(123)$
$(132)(123)(132)^{-1}=(123)$
$(12)(123)(12)^{-1}=(132)$
$(13)(123)(13)^{-1}=(132)$
$(23)(123)(23)^{-1}=(132)$
不同的结果有两个：$(123)$ 和 $(132)$。所以 $|C((123))|=2$。
这个过程需要做6次共轭计算。
这个过程只需要一次不等式验证，逻辑推理更强，计算量更小。这体现了方法B的优越性。
本段提出了计算类方程的两种核心策略：直接计算共轭类和间接通过计算中心化子。并明确指出，由于中心化子是子群，具有更多可用性质，通过它来计算通常是更优的策略。
本段是方法论的总结。在展示了一个示例后，作者停下来，提炼出解决这类问题的通用方法和指导原则，培养学生解决问题的策略性思维，而不仅仅是模仿计算步骤。
你想知道一个班里有多少个不同的小团体（共轭类）。
方法B通常更高效，因为它把一个复杂的关系网络问题，转化成了一个“对特定人物投票”的简单问题。
你想知道一幅画里有多少种颜色（共轭类）。
方法B更科学、更精确。
📜 [原文14]
令 $G$ 为域 $\mathbb{F}_{3}$ 上行列式为 1 的矩阵的特殊线性群 $S L_{2}\left(\mathbb{F}_{3}\right)$。这个群的阶是 24（参见习题 4.4）。通过列出 $G$ 的元素来开始计算类方程将非常无聊。最好从计算一些矩阵 $A$ 的中心化子开始。这是通过求解方程 $P A=A P$ 来完成的，其中 $P$ 是矩阵。使用此方程比使用 $P A P^{-1}=A$ 更容易。例如，令
方程 $P A=A P$ 施加条件 $b=-c$ 和 $a=d$，然后方程 $\operatorname{det} P=1$ 变为 $a^{2}+c^{2}=1$。此方程在 $\mathbb{F}_{3}$ 中有四个解：$a= \pm 1, c=0$ 和 $a=0, c= \pm 1$。因此 $|Z(A)|=4$ 且 $|C(A)|=6$。这为类方程提供了一个起点：$24=1+6+\cdots$。为了完成计算，需要计算更多矩阵的中心化子。由于共轭元素具有相同的特征多项式，可以从选择具有不同特征多项式的元素开始。
这段话应用了上一段总结的方法论，来处理一个更复杂的例子：$G = SL_2(\mathbb{F}_3)$。
公式: $A=\left[\begin{array}{ll} & -1 \\ 1 & \end{array}\right]$
这里空白处应为0，即 $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。这是一个旋转 $\pi/2$ 的矩阵的类似物。
我们已经完整地过了一遍作者给出的示例。让我们尝试找下一个元素。
选择一个简单的矩阵，比如 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。它的行列式是1，所以 $B \in G$。
它的特征多项式是 $\det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 \\ 0 & \lambda-1 \end{pmatrix} = (\lambda-1)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 \equiv \lambda^2 + \lambda + 1 \pmod 3$。这和 $A$ 的 $\lambda^2+1$ 不同。
我们来计算 $Z(B)$。解方程 $PB=BP$。
$PB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a+b \\ c & c+d \end{pmatrix}$
$BP = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix}$
方程组为：
$a = a+c \implies c=0$
$a+b=b+d \implies a=d$
$c=c$
$c+d=d \implies c=0$
条件为 $c=0, a=d$。
代入行列式 $ad-bc=1$:
$a(a)-b(0)=1 \implies a^2=1 \implies a=\pm 1$。
$b$ 没有限制，可以是 $0, 1, -1$。
所以解 $(a,b,c,d)$ 有：
$a=1, d=1, c=0, b \in \{0, 1, -1\}$ (3个解)
$a=-1, d=-1, c=0, b \in \{0, 1, -1\}$ (3个解)
总共有 $3+3=6$ 个解。所以 $|Z(B)|=6$。
因此 $|C(B)| = |G|/|Z(B)| = 24/6 = 4$。
现在我们的类方程是 $24 = 1 + 1 + 6 + 4 + \dots$ (假设中心大小为2)。
本段通过一个具体的、更复杂的矩阵群例子 $SL_2(\mathbb{F}_3)$，展示了通过计算中心化子来确定类方程项的强大威力。它将一个抽象的群论问题，转化为了一个具体的解矩阵方程和有限域上代数方程的问题。同时，它还引入了使用特征多项式作为启发式工具来寻找不同共轭类代表元的策略。
这个例子的目的是为了让读者信服“计算中心化子是优越策略”这一论断，并通过一个需要多步计算的非平凡例子，来训练读者综合运用群论、线性代数和有限域知识解决问题的能力。
分析 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 这个拥有24个“齿轮”的复杂机器。我们不想把所有齿轮拆下来一个个看。我们选择一个齿轮 $A$，然后看有哪些齿轮 $P$ 和它“啮合良好”（$PA=AP$）。我们发现有4个。于是我们知道，和 $A$ 同一类型的齿轮（共轭类）一共有 $24/4=6$ 个。为了分析其他类型的齿轮，我们选择一个“振动频率”（特征多项式）和 $A$ 不一样的齿轮 $B$ 来继续分析。
你在一个有24个房间的迷宫里。你想知道迷宫有几种不同类型的房间（共轭类）。
你走进一个房间 $A$。你发现有4条通道（$|Z(A)|=4$）可以让你在里面折腾一圈后，房间看起来还是老样子。于是你用心算得出：和 $A$ 长得一模一样的房间，总共有 $24/4=6$ 间。
然后你去找一间看起来风格完全不同的房间（不同特征多项式）继续你的探险。
📜 [原文15]
$S L_{2}\left(\mathbb{F}_{3}\right)$ 的类方程是
这部分直接给出了 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 类方程的最终答案。我们可以对这个结果进行解读：
检查:
这个类方程为我们描绘了 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的一幅精确的结构肖像：它有一个阶为2的中心，一个包含6个元素的“大家族”，以及四个各包含4个元素的“中等家族”。
我们已经有了类方程 $24 = 1+1+4+4+4+4+6$。我们可以对应到具体的元素类型。
本段给出了 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的完整类方程，并作为一个范例展示了一个非阿贝尔群可以拥有的典型共轭类结构。这个方程是前面所有理论和计算策略应用的最终结果。
给出最终答案，为本节的系列示例画上一个句号。它让读者看到一个完整、具体、非平凡的类方程是什么样的，从而对共轭类分解有一个完整的印象。
$SL_2(\mathbb{F}_3)$ 这个24人的大公司的最终组织结构图：
总计 $2+6+16 = 24$ 人。
一盒有24块巧克力的什锦礼盒。打开后发现：
总共 $2+6+4\times 4=24$ 块。这个礼盒的“配方”（类方程）就是 $24=1+1+6+4+4+4+4$。
1. 公式 (7.2.1)
一句话解释：定义了共轭运算，即元素 $g$ 作用于元素 $x$ 得到 $g x g^{-1}$。
2. 公式 (临时记号验证)
一句话解释：验证了共轭作用满足群作用的结合律公理。
3. 公式 (7.2.2)
一句话解释：定义了元素 $x$ 的中心化子 $Z(x)$，即所有与 $x$ 可交换的元素的集合。
4. 公式 (7.2.3)
一句话解释：定义了元素 $x$ 的共轭类 $C(x)$，即所有与 $x$ 共轭的元素的集合。
5. 公式 (7.2.4)
一句话解释：给出了计数公式（轨道-稳定子定理的应用），即群的阶等于中心化子的阶乘以共轭类的阶。
6. 公式 (7.2.6)
一句话解释：定义了类方程，即群的阶等于其所有共轭类的阶之和。
7. 公式 (7.2.7)
一句话解释：将类方程写成了展开的连加形式。
8. 公式 (7.2.9)
一句话解释：给出了对称群 $S_3$ 的具体类方程。
9. 公式 (矩阵 A 和 P)
一句话解释：定义了在计算 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 中心化子时使用的示例矩阵 $A$ 和任意矩阵 $P$。
10. 公式 (7.2.10)
一句话解释：给出了特殊线性群 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的具体类方程。